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Creators MeetUp

ネイピア数 〜美しきムダな数〜


ネイピア数」eは、自然対数の底として用いられ、多くのプログラミング言語に定数Math.Eとして備わる。けれど、ほとんどの人生にまったく必要のない数で、この定数を使わずに過ごすプログラマが大半だろう。これほどまでに実用性のとぼしい定数が、数学や自然界のふとした端々に顔を現す。そんな「ネイピア数」の生態を追ってみたい。

このレジュメは、2015年7月18日土曜日に催された第30回Creators Meetupで務めた同名の高座の参加者向けとして書いた。当日のYouTube録画をつぎに掲げる。


00 明日も使えないムダ知識


01 ネイピア数の由来

自然対数の底eの呼び名「ネイピア数」の由来はジョン・ネイピア(John Napier)。対数の発見者として知られる。

明日も使えぬムダ知識

「ネピア」(nepia)のブランド名の由来となった王子製紙がニュージーランドに進出した町の名前は、ジョン・ネイピアと同じ「Napier」だった。


02 ネイピア数を求める

ネイピア数を見い出したのはヤコブ・ベルヌーイだとされる。複利計算の過程でこの定数の重要性に気づいた。

Napier's constant

明日も使えぬムダ知識

「ネイピア数」の名前の由来となったジョン・ネイピアは、実はネイピア数を発見していなかった


03 100分の1を100回やってみる

「100回試したら一度は起こって欲しい事象に1/100の確率を使う馬鹿多過ぎwこれを100人で試したら、36人は統計的に100回では起きない概算になる。」(遠藤雅伸@evezoo)
参考: ゲームの神様「100分の1を100回やってみる

たとえば、100個にひとつ当たりが入っているチョコレートを箱買いした場合と、100個に1個の割合で当たり玉の入った福引の場合の違い。

1/nの確率でn回試しても事象が起きない確率を計算してみた。

上記リンクの中でm = n - 1と置いたとき、式は厳密にはつぎのように変形される。

(1 - 1/n)n = {1 / (1 + 1/m)}m+1
= {1 / (1 + 1/m)}m{1 / (1 + 1/m)}

nを無限大にすればmも無限大になり、前項は1/eに、後項は1に収束する。したがって、極限値は(1/e)×1 = 1/eとなる。


04 ベルヌーイの螺旋

「ベルヌーイの螺旋」(対数螺旋)は、極座標表示(r, θ)で

r = eθ

により描かれる(図001)。

図001■対数螺旋
図001
引用: Wikipedia「対数螺旋

一般には、螺旋の広がる大きさ(a)と曲がり具合(b)を調整する係数が加えられ、つぎの式で表される(Wikipedia「対数螺旋」)。

r = ae

自然界にも見られ建造物に採り入れられた例もある。拡大・縮小してもかたちが変わらない(図003)。

図002■拡大・縮小してもかたちが変わらない
図002
引用: Wikipedia「対数螺旋

数学的には、原点と螺旋上の任意の点を結んだとき、その線分と接線の角度が一定になる(図003)。はやぶさが獲物に近づくとき、対数螺旋を描いて飛ぶ(Wikipedia「対数螺旋」の「自然界における対数螺旋」)。

図003■原点と螺旋を結ぶ線分とその点の接線の角度はつねに一定
図003
引用:「logarithmic spiral

ベルヌーイの望みは Eadem mutata resurgo(変化しても同じように生まれ変わる)の語句とともに、墓石この螺旋を彫ってもらうことであった(Wikipedia「対数螺旋」の「歴史」)。

明日も使えぬムダ知識

ベルヌーイは自分の墓石にベルヌーイの螺旋を刻んでほしいと願ったが、間違ってアルキメデスの螺旋が彫られてしまった。


05 オイラーの等式

オイラーの公式
e = cosθ + i sinθ

特別な場合としてθ = πを代入する。

オイラーの等式
e + 1= 0
e : ネイピア数。自然対数の底。微分積分学で広く出現。
i : 複素数における虚数単位。積分などにおいてより深い洞察に導く。
1 : 乗法の単位元
0 : 加法の単位元。
π : 円周率。三角比、ユークリッド幾何学、微分積分学で頻出。

数学的な美を示す。「なにも足さないなにも引かない」。

全世界の数学者が感動した!!
ベンジャミン・パース(19世紀ハーバード大学数学教授)のことば

作成者: 野中文雄
作成日: 2015年7月19日
草稿日: 2015年7月14日


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