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直線は、直交座標のグラフに、一次関数として表すことができます。本稿では、この一次関数(方程式)を導くポイントをご紹介します[*1]。

  y = mx + n

図001■直線の一次関数

y切片がn、傾きmの一次関数

上記の一次関数y = mx + nで、xが0のときyはnになります。つまり、y軸(x = 0)と値nの点で直線が交わります。この点を「y切片」といいます。yの値はxの値に比例し、m倍の割合で変化します。mは「yの値の変化/xの値の変化」で計算され、xの値が1増加したときyの値はm増加することを意味します。このmは直線の傾き具合を表すので、「傾き」と呼ばれます。

ポイントは、傾きを考えることです。それではまず、点A(x1, y1)を通る傾きmの直線を求めてみましょう。求める直線上の任意の点をP(x, y)とします。すると、この直線の傾きは、つぎの式で計算できます。

  傾き = yの値の変化/xの値の変化 = (y - y1)/(x - x1)

直線の傾きは一定ですので、この値はmに等しくなければなりません。したがって、つぎの方程式が成立ちます。

  (y - y1)/(x - x1) = m
  y - y1 = m (x - x1)
  y = m (x - x1) + y1

点P(x, y)は、直線上の任意の点としました。逆にいえば、この式を満たす(x, y)の集まりが、直線を構成するということになります。つまり、この式が求める直線の方程式です。

つぎに、2点を通る直線の式を考えてみます。2点をA(x1, y1)とB(x2, y2)とします。第1に、点Aを通る訳ですから、直線上の任意の点をP(x, y)としたとき、前述1点を通る直線と同じ傾きの式が導かれます。

  傾き = (y - y1)/(x - x1)

第2に、点Aと点Bから、傾きが求められます。

  傾き = (y1 - y2)/(x1 - x2)

これらふたつの傾きは、同じ直線の値ですから、当然等しくなければなりません。したがって、以下の方程式が成立ちます。

  (y - y1)/(x - x1) = (y1 - y2)/(x1 - x2)
  y - y1 = (y1 - y2) (x - x1)/(x1 - x2)
  y = (y1 - y2) (x - x1)/(x1 - x2) + y1

このふたつの直線の傾きの関係は、図形的に説明することができます[*3][*4]。

図002■直交する2直線の傾き

傾きがそれぞれmと-1/mの2直線は直交する

傾きがmの直線は、xの値が1変化すると、yの値はm変化します。傾きが-1/mの直線は、xの値がm変化すると、yの値が-1変化することになります。このふたつの直線の傾きを示した上図002において、ピンクと水色のふたつの直角三角形は、合同になります。直角を挟む2辺の長さが、それぞれ1とmとなっており、互いに等しいからです。

三角形の内角の和は、180度です。したがって、直角三角形の(直角でない)2鋭角の和は、90度になります。上図002で、ふたつの直線の交点は、合同な(ピンクと水色の)ふたつの直角三角形の異なる2鋭角が合わさった角度を成しています。つまり、2直線は直角に交わっているということです。

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作成者: 野中文雄
作成日: 2006年3月31日
ドラフト作成: 2006年2月20日