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Creators MeetUp vol.46

ルーローの三角形と図形問題

「ルーローの三角形」とは、運動学の父と呼ばれる19世紀ドイツの機械工学者フランツ・ルーローがつくり出した定幅図形である。平面上のどの角度から見ても、幅(径)が変わらない。この図形の性質や使い途をご紹介し、関連する中学程度の図形問題を解いてみる。

このレジュメは、2016年11月24日木曜日開催の第46回Creators Meetupで務めた同名の高座のまとめになる。前半は数式を使わず、後半も中学程度の数学で面積問題を説明した。当日のYouTube録画(10分間)を併せて掲げる。

01 フランツ・ルーロー

フランツ・ルーローは、運動学の父と呼ばれる19世紀のドイツの機械工学者である。定福図形「ルーローの三角形」を考え出した。

図001■フランツ・ルーロー

引用: Wikipedia「フランツ・ルーロー」

02 ルーローの三角形

02-01 ルーローの三角形の性質

ルーローの三角形は、平面上のどの角度から見ても、幅(径)が同じ(図001)。「定福図形」と呼ばれる。回転したときの高さが変わらない。

図002■ルーローの三角形

02-02 ルーローの三角形を描く

正三角形の各頂点から他の2点を、1辺が半径となる円弧でそれぞれ結ぶことによりつくられる(図003)。

図003■ルーローの三角形の作図

02-03 マンホールの蓋

マンホールの蓋は円なので、穴の径が蓋の直径より小さければ落ちない。ルーローの三角形も同じように、小さい径の穴には落ちない(図004)。四角形だと、辺の長さより対角線の方が長いので、落ちる可能性はある。

図004■東京理科大学「数学体験館」のマンホールの模型

引用:「数学が好きになる！　東京理科大学『数学体験館』に行ってきた」

02-04 ロータリーエンジン

ロータリーエンジンのローターに用いられた(図005)。マツダで開発は続いているものの、現在市販されている搭載車はない。

図005■ロータリーエンジン

引用: Wikipedia「ロータリーエンジン」

02-05 正方形に内接して回れる

ルーローの三角形は、正方形に内接して回転できる。軌跡はほぼ正方形を描く。特殊な刃を取りつければ、回転ドリルで正方形の穴が穿てる。

図006■正方形に内接して回転できる

引用: Wikipedia「ルーローの三角形」

部屋の角まできれいにできるロボット掃除機に応用された。回転したとき、高さは変わらなくても、軸(重心)がぶれるので、車輪には向かない。

03 面積を求める

03-01 ルーローの三角形の面積

正三角形の一辺が1のルーローの三角形の面積を求める(図007)。

図007■正三角形の一辺が1のルーローの三角形

半径1で中心角60度の扇型(π/6)を60度ずつ回しながら3つ重ねて、重複した正三角形の面積((√3)/4)をふたつ差し引けばよい(図008)。

{(π/6)×3} - {(√3)/4}×2
=(π - √3)/2

図008■3つ重ねた1/6の扇型から重複した正三角形をふたつ引く

03-02 正方形と円でつくられる図形の面積

高校入試程度の問題。正方形の4頂点から、それぞれ一辺を半径とする円弧を図形の内側に描く。このとき、4つの円弧で囲まれた中心部分の面積を求める(図009)。

図009■正方形の一辺を半径とする円弧に囲まれた中心部分

正方形の一辺を1として、中心角30度の扇型に一辺が1の正三角形を加える(図010左)。そこから、中心角60度の扇型を差し引くと、イチョウ型の面積が求まる(図010右)。

{(π/12) + (√3)/4} - (π/6) = (√3)/4 - (π/12)

図010■正方形の一辺を半径とする円弧に囲まれた中心部分

イチョウ型4つの面積を正方形から差し引けば、中心部分が求まる。

1 - {(√3)/4 - (π/12)} ×4 = 1 - (√3) + (π/3)

図011■正方形からイチョウ型4つの面積を引くと中心部分が残る

appendix イギリスの硬貨

奇数角なら定福図形ルーローの多角形がつくれる。定福図形で面積が最大なのは円、最小がルーローの三角形。イギリスの50ペンスは、ルーローの7角形。

図012■イギリスの50ペンス

イギリスでは2017年に、新1ポンド硬貨が発行される。ルーローの多角形ではないものの、偽造防止の目的で12角形とされた。

図013■イギリスの50ペンス

作成者: 野中文雄
作成日: 2016年11月24日